Voilà : le rayon du premier cercle égale 1.
Il s'agit ensuite de calculer le rayon du deuxième cercle. On peut alors poser l'équation :
x + sqrt(2)x + 1 = sqrt(2)
On trouve alors x = (sqrt(2) - 1)(sqrt(2) + 1), qui correspond au rapport entre les rayons de deux cercles "consécutifs" (puisque le rayon du premier cercle égale 1).
Le rapport entre les aires de deux cercles consécutifs est le carré de ce rapport entre les rayons. Ce sera ((3 - 2sqrt(2))/(3 + 2 sqrt(2)). Ce dernier nombre correspond alors à la suite géométrique des aires des cercles.
Ensuite... on applique les propriétés des suites géométriques. On sait que la première aire égale pi.
La somme des aires égale donc pi + pi*R + pi*R² + ... + pi*R^n (R = la raison, pas le rayon...).
On peut mettre en évidence pi. Cela donne : pi(1 + R + R² + ... + R^n).
Avec l'identité remarquable, on peut transformer en : pi(R^(n+1) - 1)/(R - 1).
Comme 0 < R < 1 et que n tend vers +inf, cela donne : pi(-1)/(R - 1).
Cela donnera finalement pi(3 + 2sqrt(2)/4sqrt(2). Environ 3.237.
Si je ne me suis pas trompé...
ce qui revient à maximiser le produit st en préservant leur somme. Or une propriété fréquemment employée en maths dit que la moyenne géométrique est inférieure à la moyenne arithmétique. Dans note problème, cela signifie st <= ((s+t)/2)^2. l'égalité est vérifié en prenant s = t = (s+t)/2 . C'est le cas optimal. Ce cas correspond à P milieu de [BC].
