Diophante et les nombres entiers

[bernard]

J'ai décris rapidement un épisode de mon adolescence en 2nde et mon contact avec les maths :
http://forum.asperansa.org/viewtopic.ph ... ight=#2913
Je voudrais y revenir.
J'avais en 2nde une prof de maths passionnée, et un jour que je posais trop de questions, elle me proposa de faire une démonstration sur les nombres entiers.

Montrez que x^n + y^n = z^n n'a pas de solution dès que n>2, n entier.
On choisit x, y, z parmi l'ensemble des nombres entiers naturels strictement positifs.

Elle me prévint que c'était le Grand Théorème de Fermat (que les anglais nomment Fermat's Last Theorem), et qu'aucune démonstration n'avait pu en être fait à ce jour (on était fin 1976).

D'après l'histoire, Fermat en lisant un texte de Diophante, un grec passionné par les nombres entiers, énonça son fameux théorème.
Sauf que c'est au départ une proposition non démontrée, une conjecture, qui ne peut devenir théorème que si on peut le démontrer.

Pendant que les autres élèves de seconde de ma classe piétinaient à finir leurs exercices que j'avais déjà avalés, je me mettais au fond de la classe, et commençait à réfléchir par quel bout j'allais prendre le problème.

En fonction de mes connaissances de l'époque, je pensais faire une démonstration par récurrence entre le rang n et le rang n-1, et une démonstration par l'absurde pour le rang n=3.

Je m'aperçu rapidement qu'il faudrait utiliser des nombres premiers, et c'est là que j'eus besoin de trouver des relations entre mes nombres premiers. Pour cela, en plaçant les premiers nombres premiers sur une droite graduée, je remarquais qu'ils étaient alignés autour des multiples de 6. Ma première relation fut que tous les nombres premiers supérieurs à 3 s'écrivent sous la forme 6k +/- 1 avec k entiers >0.
La réciproque n'est pas vrai. Car s'empilent autour des multiples de 6, tous les produits des nombres premiers.
5-7, 11-13, 17, 19 sont premiers mais pas 15 et 21 qui sont produits de premiers (15=3*5 et 21=3*7).

Je construisais donc une liste d'exclusion des valeurs de k suivant que k était dans 6k+1 ou 6k+1. A la fin de la matinée, ma prof de maths vint me voir et me dit que Fermat avait commencé comme cela mais avec des nombres autour des multiples de 4.

Je terminais ma démonstration de l'écriture de tout nombre premier sous la forme 6k+/-1 avec la liste d'exclusion pour la réciproque et j'expédiais tout ça à l'Académie des Sciences à Paris. Je me rappelle avoir chercher l'adresse sur les bottins téléphonique de la Poste (on n'avait pas pagesjaunes.fr à l'époque). Je n'ai bien sur eu aucun retour (classement vertical ou erreur dans l'adresse ?).

Puis je suis revenu sur mon Grand Théorème de Fermat. Devant la difficulté de la tache et me croyant seul au monde à croire que je pourrai le résoudre, je perdais peu à peu de la motivation et me tournais vers la mécanique céleste et l'astronomie.

Le théorème fut démontré en 1994 par Andrew Wiles comme indiqué sur http://fr.wikipedia.org/wiki/Dernier_th ... _de_Fermat
La démonstration fait appel à des théories assez complexes. Avec le recul, je ne vois pas comment j'aurai pu faire la démo.

Mais c'est la suite qui a son piquant.
En 1994, quand j'ai appris que la démo avait été enfin trouvée, je me penchais à nouveau sur les nombres premiers. J'étais en charge à l'époque de l'administration d'un des 22 supercalculateurs Cray français et je découvrais un poster Cray avec la photo de la machine qui avaient permis de découvrir le plus grand nombre premier de Mersenne (le 31ème) en 1985. Il s'agit des nombres premiers de la forme 2^p - 1 avec p lui-même premier.
Le poster énonçait tous les chiffres de M31 (Mersenne 31).
Depuis on a fait un peu de chemin, puisqu'on en est à M44 d'après
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_premier_de_Mersenne

L'année suivante, je montais à Paris pour un stage informatique et je séjournais quelques jours dans un hôtel rue Sophie Germain. Dans l'hôtel, une info expliquait qui était Sophie Germain. Aujourd'hui Wikipedia nous renseigne sur http://fr.wikipedia.org/wiki/Sophie_Germain

On y apprend qu'à l'âge de 13 ans, elle se prit de passion pour les maths et principalement pour les équations diophantiennes, comme celle du Grand Théorème de Fermat, pour lequel, voulant le démontrer, elle construisit d'autres théorèmes sur les nombres premiers (tiens, tiens). Je vous conseille de lire un instant la page référencée plus haut. Une femme courageuse cette Sophie.

Coïncidence que cet hôtel dans cette rue.
Avec autant de coïncidence, je me suis permis de faire un coup de Google avec "Sophie Germain Asperger" et il n'y a pas de coïncidence, le stéréotype est bien là.
J'ai trouvé par exemple le livre de Jennifer Elder
http://www.jkp.com/catalogue/book.php/c ... 1843108153
où Sophie est citée entre Alan Turing et Lewis Carroll.
Cliquez sur description.

Pour un informaticien, Alan Turing n'est pas mal aussi.
C'est sur cette page que j'ai trouvée le lien vers les chats dont je parle dans le thème "phénotype élargi".

Un livre a été écrit par Dora Musielak en 2004 sur Sophie Germain
http://www.cofc.edu/~kasmana/MATHFICT/m ... mber=mf653

[maho]

Bernard!! tu me parle en chinois la!!
Non serieusement, quand je suis arrivé au college, l'EN a decidé d'introduire les "nouvelles maths" pour la premiere fois, c'est a dire qu'on substitue une lettre pour une donnée (x ou y etc.) Et c'etait ma perte!!! Je sais maintenant que je suis visuelle, concret et non abstrait. Je suis repassé par la deux fois avec mes enfants, et pour autant que je peux appliquer, je ne comprends toujours pas!! Peut etre dans ma tete les lettres sont pour ecrire et les chiffres pour compter, donc je ne peux pas compter en x ou y!!

[jakesbian]

- tu as une âme de sherlock holmes, bernard.
# nicolas à également fait sur sa calculatrice, lorsqu'il était au lycée, un programme sur les nombres entiers; en fait, je pense qu'il est parti d'un programme en fortran trouvé dans un de mes bouquins de fac.
# lorsque j'étais en CE1, on a fait ce qu'on appelait à l'époque "les mathématiques modernes"; on étudiaient les "bases"...très vite, çà n'a plus été au programme; parait-il que çà ne servait à rien, et les enfants avaient bien d'autres choses à apprendre... n'empêche que çà m'a servi en fac, en micro-informatique, code binaire, hexadécimal,...

ce qui est bizarre, c'est d'avoir trouvé cela si simple ... et une fois prof, lorsque je l'évoquais en classe... les élèves se demandaient de quel chapeau je sortais cela... c'est un peu le problème d'un autiste, il peut avoir de sérieuses difficultés au quotidien, et réussir de façon déconcertante ce que les autres ont tant de mal à pénétrer.

[bernard]

C'est vrai que jongler avec les nombres c'est beau. Et ce n'est pas si difficile que cela.
Ce soir, en parlant d'algèbre (les nombres), j'ai appris sur une radio que le prix Abel des Mathématiques avait été remis à un français Jacques Tits (et à un américain) pour leur travail sur la théorie moderne des groupes.
http://www.france-info.com/spip.php?art ... s_theme=32
Regardez en bas de l'annonce, le parcours de Jacques quand il était petit.
Sur la radio, il disait qu'il avait passé son bac vers 13/14 ans. Faut bien si on veut avoir son doctorat à 20 ans !

Pour continuer mon texte plus haut sur les paires 6k+/-1 dont Sue me dit que c'est du chinois j'ai retrouvé une appellation de nombres premiers jumeaux (ceux séparés de 2 autour des multiples de 4 ou de 6) dont un théorème a été démontré par Daniel Goldston en 2005
http://www.futura-sciences.com/fr/sinfo ... eaux_6424/

Le prix Abel a été fondé en 2003, et c'est un autre français Jean-Pierre Serre qui parlait sur la radio tout à l'heure qui l'a reçu en premier
http://www.futura-sciences.com/fr/sinfo ... abel_1911/

Je ne vous embête pas plus ...

[jakesbian]

- je me débrouille comme un manche... je n'ai pas le bas de la page... donc le parcours de jacques... mystère;
mais t'en connais, beaucoup de gamin qui projette le doctorat à 20 ans... faut vraiment avoir peur de mourir jeune... ou vouloir être dans le livre des records.

[bernard]

Le bas de la page dit :
Né près de Bruxelles il y a 77 ans et naturalisé français en 1974, Jacques Tits est, selon le Collège de France, "l’un des mathématiciens les plus influents et les plus originaux de notre temps". Et sans doute l’un des plus précoces : à l’âge de trois ans, il résout déjà toutes les opérations d’arithmétique. Saute plusieurs années au cours de sa scolarité et devient, à l’âge de 13 ans, répétiteur pour des lycéens. Il n’a que 20 ans quand il obtient son doctorat.

Chapeau bas, Jacques.

[bernard]

Aujourd'hui 14 mars (3/14) c'est la journée internationale de Pi !
Dans 5 ans, la notation américaine affichera 3/14/15 !

[bernard]

Aujourd'hui, le grand Albert aurait eu 131 ans !

[Guy]

Aujourd'hui 14 mars (3/14) c'est la journée internationale de Pi !
Dans 5 ans, la notation américaine affichera 3/14/15 !

Mais Pi n'a jamais été un entier ni un rationnel.

[bernard]

Le grand Archimède avait proposé le rapport 22/7.
Le rapport 355/113 est une approximation remarquable de Pi (6 décimales).
Plus d'info sur ce site.

[bernard]

Aujourd'hui 14 mars (3/14) c'est la journée internationale de Pi !

Il fallait y penser à 1:59:26 !

On peut aussi y penser le 22 juillet (22/7).