Diophante et les nombres entiers
Posté : jeudi 27 mars 2008 à 1:22
J'ai décris rapidement un épisode de mon adolescence en 2nde et mon contact avec les maths :
http://forum.asperansa.org/viewtopic.ph ... ight=#2913
Je voudrais y revenir.
J'avais en 2nde une prof de maths passionnée, et un jour que je posais trop de questions, elle me proposa de faire une démonstration sur les nombres entiers.
Montrez que x^n + y^n = z^n n'a pas de solution dès que n>2, n entier.
On choisit x, y, z parmi l'ensemble des nombres entiers naturels strictement positifs.
Elle me prévint que c'était le Grand Théorème de Fermat (que les anglais nomment Fermat's Last Theorem), et qu'aucune démonstration n'avait pu en être fait à ce jour (on était fin 1976).
D'après l'histoire, Fermat en lisant un texte de Diophante, un grec passionné par les nombres entiers, énonça son fameux théorème.
Sauf que c'est au départ une proposition non démontrée, une conjecture, qui ne peut devenir théorème que si on peut le démontrer.
Pendant que les autres élèves de seconde de ma classe piétinaient à finir leurs exercices que j'avais déjà avalés, je me mettais au fond de la classe, et commençait à réfléchir par quel bout j'allais prendre le problème.
En fonction de mes connaissances de l'époque, je pensais faire une démonstration par récurrence entre le rang n et le rang n-1, et une démonstration par l'absurde pour le rang n=3.
Je m'aperçu rapidement qu'il faudrait utiliser des nombres premiers, et c'est là que j'eus besoin de trouver des relations entre mes nombres premiers. Pour cela, en plaçant les premiers nombres premiers sur une droite graduée, je remarquais qu'ils étaient alignés autour des multiples de 6. Ma première relation fut que tous les nombres premiers supérieurs à 3 s'écrivent sous la forme 6k +/- 1 avec k entiers >0.
La réciproque n'est pas vrai. Car s'empilent autour des multiples de 6, tous les produits des nombres premiers.
5-7, 11-13, 17, 19 sont premiers mais pas 15 et 21 qui sont produits de premiers (15=3*5 et 21=3*7).
Je construisais donc une liste d'exclusion des valeurs de k suivant que k était dans 6k+1 ou 6k+1. A la fin de la matinée, ma prof de maths vint me voir et me dit que Fermat avait commencé comme cela mais avec des nombres autour des multiples de 4.
Je terminais ma démonstration de l'écriture de tout nombre premier sous la forme 6k+/-1 avec la liste d'exclusion pour la réciproque et j'expédiais tout ça à l'Académie des Sciences à Paris. Je me rappelle avoir chercher l'adresse sur les bottins téléphonique de la Poste (on n'avait pas pagesjaunes.fr à l'époque). Je n'ai bien sur eu aucun retour (classement vertical ou erreur dans l'adresse ?).
Puis je suis revenu sur mon Grand Théorème de Fermat. Devant la difficulté de la tache et me croyant seul au monde à croire que je pourrai le résoudre, je perdais peu à peu de la motivation et me tournais vers la mécanique céleste et l'astronomie.
Le théorème fut démontré en 1994 par Andrew Wiles comme indiqué sur http://fr.wikipedia.org/wiki/Dernier_th ... _de_Fermat
La démonstration fait appel à des théories assez complexes. Avec le recul, je ne vois pas comment j'aurai pu faire la démo.
Mais c'est la suite qui a son piquant.
En 1994, quand j'ai appris que la démo avait été enfin trouvée, je me penchais à nouveau sur les nombres premiers. J'étais en charge à l'époque de l'administration d'un des 22 supercalculateurs Cray français et je découvrais un poster Cray avec la photo de la machine qui avaient permis de découvrir le plus grand nombre premier de Mersenne (le 31ème) en 1985. Il s'agit des nombres premiers de la forme 2^p - 1 avec p lui-même premier.
Le poster énonçait tous les chiffres de M31 (Mersenne 31).
Depuis on a fait un peu de chemin, puisqu'on en est à M44 d'après
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_premier_de_Mersenne
L'année suivante, je montais à Paris pour un stage informatique et je séjournais quelques jours dans un hôtel rue Sophie Germain. Dans l'hôtel, une info expliquait qui était Sophie Germain. Aujourd'hui Wikipedia nous renseigne sur http://fr.wikipedia.org/wiki/Sophie_Germain
On y apprend qu'à l'âge de 13 ans, elle se prit de passion pour les maths et principalement pour les équations diophantiennes, comme celle du Grand Théorème de Fermat, pour lequel, voulant le démontrer, elle construisit d'autres théorèmes sur les nombres premiers (tiens, tiens). Je vous conseille de lire un instant la page référencée plus haut. Une femme courageuse cette Sophie.
Coïncidence que cet hôtel dans cette rue.
Avec autant de coïncidence, je me suis permis de faire un coup de Google avec "Sophie Germain Asperger" et il n'y a pas de coïncidence, le stéréotype est bien là.
J'ai trouvé par exemple le livre de Jennifer Elder
http://www.jkp.com/catalogue/book.php/c ... 1843108153
où Sophie est citée entre Alan Turing et Lewis Carroll.
Cliquez sur description.
Pour un informaticien, Alan Turing n'est pas mal aussi.
C'est sur cette page que j'ai trouvée le lien vers les chats dont je parle dans le thème "phénotype élargi".
Un livre a été écrit par Dora Musielak en 2004 sur Sophie Germain
http://www.cofc.edu/~kasmana/MATHFICT/m ... mber=mf653
http://forum.asperansa.org/viewtopic.ph ... ight=#2913
Je voudrais y revenir.
J'avais en 2nde une prof de maths passionnée, et un jour que je posais trop de questions, elle me proposa de faire une démonstration sur les nombres entiers.
Montrez que x^n + y^n = z^n n'a pas de solution dès que n>2, n entier.
On choisit x, y, z parmi l'ensemble des nombres entiers naturels strictement positifs.
Elle me prévint que c'était le Grand Théorème de Fermat (que les anglais nomment Fermat's Last Theorem), et qu'aucune démonstration n'avait pu en être fait à ce jour (on était fin 1976).
D'après l'histoire, Fermat en lisant un texte de Diophante, un grec passionné par les nombres entiers, énonça son fameux théorème.
Sauf que c'est au départ une proposition non démontrée, une conjecture, qui ne peut devenir théorème que si on peut le démontrer.
Pendant que les autres élèves de seconde de ma classe piétinaient à finir leurs exercices que j'avais déjà avalés, je me mettais au fond de la classe, et commençait à réfléchir par quel bout j'allais prendre le problème.
En fonction de mes connaissances de l'époque, je pensais faire une démonstration par récurrence entre le rang n et le rang n-1, et une démonstration par l'absurde pour le rang n=3.
Je m'aperçu rapidement qu'il faudrait utiliser des nombres premiers, et c'est là que j'eus besoin de trouver des relations entre mes nombres premiers. Pour cela, en plaçant les premiers nombres premiers sur une droite graduée, je remarquais qu'ils étaient alignés autour des multiples de 6. Ma première relation fut que tous les nombres premiers supérieurs à 3 s'écrivent sous la forme 6k +/- 1 avec k entiers >0.
La réciproque n'est pas vrai. Car s'empilent autour des multiples de 6, tous les produits des nombres premiers.
5-7, 11-13, 17, 19 sont premiers mais pas 15 et 21 qui sont produits de premiers (15=3*5 et 21=3*7).
Je construisais donc une liste d'exclusion des valeurs de k suivant que k était dans 6k+1 ou 6k+1. A la fin de la matinée, ma prof de maths vint me voir et me dit que Fermat avait commencé comme cela mais avec des nombres autour des multiples de 4.
Je terminais ma démonstration de l'écriture de tout nombre premier sous la forme 6k+/-1 avec la liste d'exclusion pour la réciproque et j'expédiais tout ça à l'Académie des Sciences à Paris. Je me rappelle avoir chercher l'adresse sur les bottins téléphonique de la Poste (on n'avait pas pagesjaunes.fr à l'époque). Je n'ai bien sur eu aucun retour (classement vertical ou erreur dans l'adresse ?).
Puis je suis revenu sur mon Grand Théorème de Fermat. Devant la difficulté de la tache et me croyant seul au monde à croire que je pourrai le résoudre, je perdais peu à peu de la motivation et me tournais vers la mécanique céleste et l'astronomie.
Le théorème fut démontré en 1994 par Andrew Wiles comme indiqué sur http://fr.wikipedia.org/wiki/Dernier_th ... _de_Fermat
La démonstration fait appel à des théories assez complexes. Avec le recul, je ne vois pas comment j'aurai pu faire la démo.
Mais c'est la suite qui a son piquant.
En 1994, quand j'ai appris que la démo avait été enfin trouvée, je me penchais à nouveau sur les nombres premiers. J'étais en charge à l'époque de l'administration d'un des 22 supercalculateurs Cray français et je découvrais un poster Cray avec la photo de la machine qui avaient permis de découvrir le plus grand nombre premier de Mersenne (le 31ème) en 1985. Il s'agit des nombres premiers de la forme 2^p - 1 avec p lui-même premier.
Le poster énonçait tous les chiffres de M31 (Mersenne 31).
Depuis on a fait un peu de chemin, puisqu'on en est à M44 d'après
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_premier_de_Mersenne
L'année suivante, je montais à Paris pour un stage informatique et je séjournais quelques jours dans un hôtel rue Sophie Germain. Dans l'hôtel, une info expliquait qui était Sophie Germain. Aujourd'hui Wikipedia nous renseigne sur http://fr.wikipedia.org/wiki/Sophie_Germain
On y apprend qu'à l'âge de 13 ans, elle se prit de passion pour les maths et principalement pour les équations diophantiennes, comme celle du Grand Théorème de Fermat, pour lequel, voulant le démontrer, elle construisit d'autres théorèmes sur les nombres premiers (tiens, tiens). Je vous conseille de lire un instant la page référencée plus haut. Une femme courageuse cette Sophie.
Coïncidence que cet hôtel dans cette rue.
Avec autant de coïncidence, je me suis permis de faire un coup de Google avec "Sophie Germain Asperger" et il n'y a pas de coïncidence, le stéréotype est bien là.
J'ai trouvé par exemple le livre de Jennifer Elder
http://www.jkp.com/catalogue/book.php/c ... 1843108153
où Sophie est citée entre Alan Turing et Lewis Carroll.
Cliquez sur description.
Pour un informaticien, Alan Turing n'est pas mal aussi.
C'est sur cette page que j'ai trouvée le lien vers les chats dont je parle dans le thème "phénotype élargi".
Un livre a été écrit par Dora Musielak en 2004 sur Sophie Germain
http://www.cofc.edu/~kasmana/MATHFICT/m ... mber=mf653
Bernard!! tu me parle en chinois la!!