Paraskevi a écrit :freeshost, je m'adresse à toi car tu avais posté, dans un topic d'énigmes, ce lien :
http://homepage.hispeed.ch/FSJM/documen ... nces_F.pdf que j'ai découvert hier, et voyant ce topic de mathématiques je me suis dit que peut-être toi ou quelqu'un d'autre saurait m'apporter une aide pour l'exercice 17...
Étant donné que u(n+1) est toujours la somme des cubes des chiffres de U(n), listons les cubes des chiffres :
0³ = 0
1³ = 1
2³ = 8
3³ = 27
4³ = 64
5³ = 125
6³ = 216
7³ = 343
8³ = 512
9³ = 729
Nous pouvons donc aller en sens inverse. Quelles sommes de cubes de chiffres sont égales à 153 ?
Les chiffres de 6 à 9 ne peuvent pas composer le nombre précédent puisque chacun de leurs cubes excède 153. Tentons le 125.
Avec le 125, seuls les sommes suivantes sont possibles : 125 + 27 + 1 (+ 0).
Sans le 125, aucune somme n'aboutit à 153.
Nous savons donc que le nombre précédant 153 était composé des chiffres 1, 3, 5 et éventuellement le 0. On doit donc tester les possibilités suivantes :
- à trois chiffres :
531 ; 513 ; 351 ; 315 ; 153 (connue) ; 135.
à quatre chiffres :
5310 ; 5301 ; 5130 ; 5103 ; 5031 ; 5013 ; 3510 ; 3501 ; 3150 ; 3105 ; 3051 ; 3015 ; 1530 ; 1503 ; 1350 ; 1305 ; 1053 ; 1035.
Cela ferait beaucoup de nombres à tester.
Mais nous pouvons déjà considérer les nombres strictement supérieurs à 2916 comme des culs-de-sacs (quand on remonte à la source) étant donné que celui-ci est la plus grande somme de quatre cubes de chiffres (4 · 9⁴). Soulignons alors au fur et à mesure les nombres "en bout de course" et mettons en italique les nombres fertiles.
153 (nombre "réflexif" dans cette relation) ;
5310 ;
5301 ;
5130 ;
5103 ;
5031 ;
5013 ;
3510 ;
3501 ;
3150 ;
3105 ;
3051 ;
3015.
Nous restent :
1530 ; 1503 ; 1350 ; 1305 ; 1053 ; 1035 ; 531 ; 513 ; 351 ; 315 ; 135.
Nous nous apercevons que :
1530 = 729 + 729 + 64 + 8 (seule possibilité)
1503 = aucune possibilité
1350 = ...
Mais bon, avouez que ce serait long de continuer ainsi.
Essayons autre chose :
La somme des chiffres est toujours a³ + b³ + c³ + d³. Comme l'a dit Ixy-Fermat, comme 153 est multiple de 3, on doit partir d'un multiple de 3.
Les chiffres des milliers et des centaines sont respectivement 2 et 0 (années de 2001 à 2099) ou respectivement 2 et 1 (année 2100).
On peut déjà observer le cas 2100. 2100 => 9 => 729 => 1080 => 513 => 153. OK, on le prend.
Prenons donc les cas entre 2001 et 2099.
On sait que deux nombres composés des mêmes chiffres (aux chiffres zéros près) auront la même image. Ainsi, si 2004 marche, 2040 aussi. Tout cela nous amène à tester 17 nombres (au lieu de 31).
2001 => 9 => 729 => 1080 => 513 => 153. 2010 donc aussi.
2004 => 72 => 351 => 153. 2040 donc aussi.
2007 (comme 72) => 351 => 153. 2070 donc aussi.
2013 => 36 => 243 => 99 => 1458 => 702 (comme 72) => 351 => 153. 2031 donc aussi.
2016 => 225 => 141 => 66 => 432 (comme 243) => 99 => 1458 => 702 (comme 72) => 351 => 153. 2061 donc aussi.
2019 => 738 => 885 => 1149 => 795 => 1197 => 1074 => 408 => 576 => 684 =>792 (comme 729) => 1080 => 513 => 153. 2091 donc aussi.
2022 => 24 (comme 2004). OK
2025 (comme 225). OK, aussi pour 2052.
2028 => 528 => 645 => 405 => 189 => 1242 => 81 (comme 1080). OK, aussi pour 2082.
2034 (comme 242). OK, aussi pour 2043.
2037 => 378 (comme 738). OK, aussi pour 2073.
2046 => 288 => 1032 (comme 2013). OK, aussi pour 2064.
2049 => 801 (comme 1080). OK, aussi pour 2094.
2055 => 258 (comme 528). OK.
2058 (comme 528). OK, aussi pour 2085.
2067 => 567 (comme 576). OK, aussi pour 2076.
2079 (comme 729). OK, aussi pour 2097.
2088 (comme 288). OK.
Donc, au moins tous les multiples de 3 de 2001 à 2100 aboutissent à 153. Il y a donc 34 possibilités.
Ce qui est marrant, c'est que ça marche pour beaucoup d'autres multiples de 3. Il serait intéressant de voir si l'on peut démontrer que ça fonctionne pour tout multiple de 3 strictement positif, ou s'il y a au moins un contre-exemple.
Bon, il doit sûrement y avoir d'autres moyens plus rapides d'arriver à la solution.
), puis cinq, puis... ?]
apres je sais que c'est pour rigoler!